เรื่องน่าตื่นเต้นที่เกิดขึ้นช่วงนี้ ไม่ใช่ไอติมไผ่ทองหรือเจ้าหญิงคุปป้าแต่ว่าในงาน HLF18 มี speaker ท่านหนึ่ง Sir Michal Francis Atiyah ขึ้นมาพิสูจน์ปัญหา Riemann hypothesis แล้วครับ! ซึ่งเป็น 1 ใน 6 Millennium Prize Problems ที่เหลืออยู่ครับ

Millennium Prize Problems - Wikipedia
The Millennium Prize Problems are seven problems in mathematics that were stated by the Clay Mathematics Institute on…en.wikipedia.org

เป็นรายการปัญหาสำคัญทางคณิตศาสตร์ที่คนแก้ได้จะได้รางวัล 1 ล้าน $ เลยทีเดียว ปัญหาเดียวที่เคยแก้ได้นั้นตั้งแต่ปี 2013 ครับ ไหนๆก็มีเรื่องสำคัญขนาดนี้ในช่วงชีวิตเราก็เลยลองกูเกิลรัวๆดู รู้มาเท่านี้เลยมาสรุปให้ฟัง

Euler zeta function

แนะนำ

What is the Riemann Hypothesis? " Heidelberg Laureate Forum " SciLogs - Wissenschaftsblogs
This year at the HLF there are multiple sessions in the program concerning the Riemann Hypothesis, including a talk…scilogs.spektrum.de

อ่านแล้วเลยจะเล่าให้ฟังลวกๆสรุปจากเว็บนั้น

ตัวนั้นอ่านว่า zeta ถ้ามีฟังก์ชั่นนี้แบบเอา s อะไรก็ได้ แต่ sum ไปเรื่อยๆจน n = infinite นี่ ก็พอจะนึกภาพได้ว่ามันต้องน้อยลงเรื่อยๆจนแทบไม่ขยับเข้าซักจุดใช่มั้ยครับ แต่ว่าฟังก์ชั่นนี้ define ไว้แค่ s > 1 แล้วก็ converge แน่ๆ (ไม่ infinite)

ถ้าดูเผินๆก็คงจะออกมาเป็นค่าๆนึงที่ 1 กว่าๆใช่มั้ยครับเพราะตัวแรกก็ 1 ละ แล้วก็ + น้อยลงเรื่อยๆ อันนี้จะเรียกว่า Euler zeta function เพราะ Euler ศึกษาส่วนที่ s เป็นจำนวนจริงก่อนที่ Riemann จะมาทำต่อ

Highlight !

ถ้า s = 1 ล่ะ อันนี้เรียกว่า harmonic series เหมือจะ converge (1 + 0.5 + 0.25 + …) แต่จริงๆมัน diverge ไปสู่ infinite น่ะครับ.. จำได้ว่าเป็นโจทย์หลอกให้เสียคะแนนสมัย ม. ปลาย อะไรไม่รู้แหละ จำๆไปตอบพิสูจน์ไม่สน 555

Why does the series $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ not converge?
Can someone give a simple explanation as to why the harmonic series $$\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\frac 1 1 + \frac 12 +…math.stackexchange.com

ถ้า s < 1 ล่ะ ก็คิดแบบปกติจะได้ infinite ยกตัวอย่างเช่นถ้าเป็น -1 ส่วนก็จะกลับด้านขึ้นมา ได้ 1 + 2 + 3 + 4 + … คิดแบบปกติได้ infinite ก็คือ diverge ออกไป ถ้า -3 อะไรงี้ยิ่ง diverge เร็วขึ้น แต่ จะบอกว่า “ได้ infinite” ก็ไม่ค่อยถูกเพราะมันไม่มีจริงครับ

Analytic continuation สู่ Riemann zeta function

ถ้าใช้เทคนิค analytic continuation ที่พยายามอธิบายฟังก์ชั่นนอกขอบเขต s > 1 ออกไปล่ะ (s ≤ 1)

อันนี้เป็นคณิตสาย complex analysis ที่เราสามารถใช้จำนวนเชิงซ้อนมาอธิบายคณิตศาสตร์ที่เร้นลับได้ครับ (เช่นบริเวณที่เคยได้ infinite ในระบบจำนวนจริง) เขาว่าสมัย Euler ยังไม่มีให้ใช้งาน จำนวนเชิงซ้อนก็คือที่ +i ส่วนจินตภาพ (imaginary number) เข้ามา กลายเป็นคณิต 2 มิติ มีกฏใหม่ๆของมันเอง

ผมก็ไม่เคยเรียน analytic continuation ด้วยแหละเพิ่งแค่ไปอ่านๆ wiki มา แต่พอดีฟังก์ชั่น infinite summation ที่ว่าเป็น analytic function สมบัตินี้ อนุญาติให้เราสามารถทำ complex analysis ได้ เปิดทางให้เราต่อได้ครับ

เดิมเราอยู่บนเส้นจำนวนเส้นตรงเส้นเดียว ทีนี้เราเพิ่มมิติขึ้นมาอีกอันจะเกิดอะไรขึ้น (s = a + bi) ส่วนที่เคย valid เราจะพยายามทำให้ valid เหมือนเดิมไหนๆจำนวนจริงก็เป็น subset ของจำนวนเชิงซ้อนนะครับ (a + 0i)

เรียกฟังก์ชั่นใหม่ที่ analyze ต่อเนื่องมานี้ว่า Riemann zeta function

  • ยัง converge อยู่เหมือนเดิม ถ้าใส่ s อะไรก็ได้ที่ส่วนจำนวนจริง > 1 (จะ +bi อะไรก็ได้ ซึ่งพิสูจน์แล้ว)
  • ทีนี้ในส่วนที่เคย diverge ทั้งหมดกลายเป็น well-defined แล้ว (ไม่ infinite แล้ว) ด้วยพลังของ complex number
  • มีบางจุดที่ทำให้ฟังก์ชั่นนี้ได้ 0 เกิดขึ้น <- ปัญหาเงินล้าน : จุดไหน?

พลังของยกกำลัง i

เอาภาพเดิมมาให้จ้องอีกที แต่ลองนึกดูว่าใน s มี i แล้วทีนี้

ถามว่า! complex number มีพลังเปลี่ยน infinite เป็น well-defined งี้ได้ไง ลองนึกดูว่าถ้า 1/n^s แล้ว s เป็น (-1+4i) ติดลบงี้แต่ก่อนต้อง diverge สู่ infinity ใช่มั้ยครับ แต่มี i แถมมาด้วยแล้วอะไรๆก็เปลี่ยนไป

เราอาจจะจำได้ว่า i² = -1 เพราะว่า i = sqrt(-1)

แต่นี่มันเลขแล้วยกกำลังด้วย i แล้วมันคือบ้าอะไร ตรงนี้ต้องขอบคุณ Euler อีก

Euler's formula - Wikipedia
where e is the base of the natural logarithm, i is the imaginary unit, and cos and sin are the trigonometric functions…en.wikipedia.org

สมการเทพที่ Euler หาเจอมานี้จำได้ว่าเคยใช้สอบงงๆแล้วลืมๆมันไป จะเห็นว่าในสูตรมียกกำลัง i แล้วอีกด้าน i ร่วงลงมาเฉยเลย แถมมี cos sin มาเกี่ยวแล้วดันเกี่ยวกับ π ได้อีก คิดมาได้ไงก็ไม่ทราบแต่เอาเป็นว่าไหนๆก็เกี่ยวกับ π แล้ว คิดซะว่ายกกำลัง i แล้วมันจะหมุนๆ ไปก่อนก็แล้วกัน

(สำหรับคนที่สนใจในไอ้ยกกำลัง i นี้จริงๆ)

Intuitive Understanding Of Euler's Formula
Euler's identity seems baffling: It emerges from a more general formula: Yowza -- we're relating an imaginary exponent…betterexplained.com

ต่อไปจะขอยืมภาพมาจากคุณ 3Blue1Brown จากวิดิโอนี้ ซึ่งเป็นวิดิโอที่แนะนำให้ดูมากๆครับ

หมุนๆที่ว่าคือยังไง ลองดูภาพซ้ายที่แสดงส่วน valid (s > 1) มาเพิ่มมิติให้ไปบนล่างได้ (ก็คือ i) แล้วภาพขวาเป็นผล convergence ที่ได้ จะเห็นว่าเส้นตั้งสีแดงผลออกมากลายเป็นกลมๆ ก็คือหนึ่งในพลังของยกกำลัง i ที่ว่านี้ครับ

ถ้า complex analyze ต่อเนื่องออกไปก่อนเขต s > 1 ล่ะ

ภาพนี้คือคำตอบหลังแทนที่ s แบบเป็น complex number อะไรก็ได้

จะเห็นว่าที่ 0,0 มีเส้นโค้งมาโดนด้วยแล้วทีนี้ (ด้วยพลังของ i, ว่าได้ว่าเป็นพลังของ complex analysis) อันนี้สำคัญแต่เอาไว้ก่อน

ที่มาของสมการดัง 1 + 2+ 3 + … = -1/12

เห็นเพจเรียกไลค์หลายๆเพจแค่เอาภาพโจทย์ operator precedence มาล่อก็เกิดเป็น civil war ระหว่างฝ่ายซ้ายไปขวากับฝ่ายคูณก่อนบวกแล้ว ก็เลยคิดเล่นๆว่าถ้าเอาคำถาม 1 + 2 + 3 + … ได้เท่าไหร่ จะมีคนตอบอะไรบ้าง 555

โด่งดังมาจากวิดิโอนี้ ซึ่งไม่แนะนำให้ดูเท่าไหร่เพราะค่อนข้าง clickbait-y แล้วก็เหมือนโชว์มายากลว่าจะจับได้รึเปล่า มัวแต่ลีลา หมั่นไส้ 555

คือ 1 + 2 + 3 +4 + … มันได้ infinite ในระบบจำนวนจริงแหละ แต่ถ้า derive แบบที่ว่าไปจะทำให้ divergent series กลับกลายเป็นมีค่าคงที่ขึ้นมาได้ เรียกว่า “zeta function regularization” (ในคลิปเหมือนพยายามไม่พูดถึง)

Zeta function regularization - Wikipedia
In mathematics and theoretical physics, zeta function regularization is a type of regularization or summability method…en.wikipedia.org

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ - Wikipedia
Among the classical divergent series, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ is relatively difficult to manipulate into a finite value. Many…en.wikipedia.org

ถ้าดูภาพนี้ ถ้าใช้ s = -1 แล้วมันจะโค้งไปหา -1/12 จริงๆ ตารางก่อนโค้งที่เห็นให้คิดซะว่าเป็น a+bi ใดๆ bi คือแกน y ครับ

นอกจากนี้ยังมี 1 + 1 + 1 + … = -1/2 (ใช้ s = 0) กับ 1+ 2 + 4 + 8 + … = -1 อีก 555

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ - Wikipedia
In a short period of less than a year, two distinguished physicists, A. Slavnov and F. Yndurain, gave seminars in…en.wikipedia.org

1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ - Wikipedia
In mathematics, is the infinite series whose terms are the successive powers of two. As a geometric series, it is…en.wikipedia.org

ถ้าทางคณิต complex number เห็นเขาว่า ไอ้การโค้งๆนี้ มันเป็นการเอา infinite ด้านบวกกับลบมาหักล้างกันอย่างชาญฉลาดทางอ้อมครับมันเลยออกมาจับต้องได้

นึกง่ายๆก็เส้นแนวนอนตรงๆที่เคยไปถึงไหนไม่รู้กลายเป็นมาอยู่ใกล้แค่เอื้อม …แต่จะว่าไปคำว่า “วงกลม” นี่ก็มีความ infinite ในตัวของมันอยู่ก็คือวนไปได้เรื่อยๆนั่นเอง โอ้ว! จะเห็นว่าไปๆมาๆสมการ euler ก็เริ่มดูสมเหตุสมผลแล้ว วงกลม, i, e, sin, cos, infinite… เหมือนจะเกี่ยวกันหมดจนได้

เรื่องการโม้เลขจาก infinite series นี่ก็ทำให้นึกถึง series ที่เป็น conditional convergence คือแค่เรียงๆใหม่ก็ได้ค่าไม่เหมือนเดิมแล้ว

Conditional convergence - Wikipedia
Bernhard Riemann proved that a conditionally convergent series of real numbers may be rearranged to converge to any…en.wikipedia.org

เหมือนเลขเสกมา แต่ไม่ไร้สาระ

จะว่าผลที่ derive มาจาก zeta function regularization เป็นเลขขี้โม้ก็อาจจะได้ แต่ทางฟิสิกส์ดันมีบางอย่างที่เหมือนจะตรง เช่นพลังงาน quantum ระหว่างแผ่นในสูญญากาศที่คิดตามหลัก quantum แล้วได้ infinite แต่พลังงานไม่จำกัดถ้ามีจริงคงจะดี เขาเลยลองวัดดูจริงๆแล้วผลออกมาเหมือน Riemann zeta function ที่แทนค่า s = -3 เฉยเลย แสดงว่าอาจจะไม่ใช่เรื่องเล่นๆ

Infinity or -1/12?
Recently a very strange result has been making the rounds. It says that when you add up all the natural numbers…plus.maths.org

Casimir effect - Wikipedia
The Casimir effect can be understood by the idea that the presence of conducting metals and dielectrics alters the…en.wikipedia.org

ความลับของ Prime number

ในเปเปอร์ “On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude” ที่เขียนโดย Riemann นี่แหละที่บอกวิธีทำ complex analysis แต่ว่ามีบอกต่ออีก เกี่ยวกับความลับของ prime number

On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude - Wikipedia
" Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (usual English translation: " On the Number of Primes…en.wikipedia.org

ก่อนอื่นคงรู้จัก prime number (2 3 5 7 11 13 ..) ที่มนุษย์โลกยังไม่รู้ว่ามันมี “สูตร” อะไรของ sequence ที่ว่านี้ แค่คิดได้ว่าเลขนี้เป็น prime มั้ย ตัวต่อไปต้องงมหาเอง แถมต้องคิดเช็คใหม่อีก ออกมาเป็นการบ้านสุดทรมานที่เราเคยทำกัน

จุดไหนได้ 0

เหมือนแต่ก่อนตอนทำการบ้าน เพื่อการศึกษา อยากรู้ว่าฟังก์ชั่นหน้าตายังไงจะได้ตีกราฟได้ ต้องเอาไป = 0 ให้รู้ว่าตัวแปร x y ค่าเท่าไหร่ทำให้ผลเป็น 0

Riemann บอกว่า ความลับของ prime number นี้เกี่ยวข้องแน่ๆ กับจุดที่ทำให้คำตอบเป็น 0 ได้ของฟังก์ชั่น Riemann zeta function แต่จุดพวกนั้นอยู่ไหน พวกโลภมากที่อยากจะได้ หาให้เจอเซ่ ฉันทิ้งไว้ในโลกอันกว้างใหญ่นี่แหละ! หะฉิเกโรว อยู่เมโว

Prime number theorem - Wikipedia
In number theory, the prime number theorem ( PNT) describes the asymptotic distribution of the prime numbers among the…en.wikipedia.org

Prime-counting function

แม้ว่าเป้าหมายหา explicit function ที่ใช้เสก prime จังๆได้จะดูเกินไปหน่อย แล้วถ้า “prime-counting function” ล่ะ (มี prime กี่ตัวใต้เลขนี้ เช่นถ้า 10 ก็ตอบ 4 เพราะมี 2 3 5 7) ก็ยังเหมือนจะมาเกี่ยวข้องอย่างมากกับ Riemann zeta function อีกจนได้ครับ! Riemann บอกว่าฟังก์ชั่นของเขาเนี่นอธิบายได้ว่า Prime-counting function นี้จะต้องโค้งขึ้นช้ากว่า integrate ของ 1/ln แน่ๆ ซึ่งตรงกับที่ Gauss และสหายค้นพบไว้แล้ว

Prime-counting function - Wikipedia
In mathematics, the prime-counting function is the function counting the number of prime numbers less than or equal to…en.wikipedia.org

prime-counting function ที่ค้นพบนี่เหมือนจะไร้ประโยชน์แต่จริงๆน่าสนใจ เพราะเราได้รู้ว่า prime ก็มี character ของมันอยู่จริงไม่ได้มั่วแบบสิ้นหวัง (เช่นถามว่าใต้เลข 49283498 มี prime x ตัวเป็นไปได้มั้ย ทีนี้เราตอบได้แล้วว่าได้หรือไม่ได้ แบบแน่ๆ)

Euler product

Euler ได้พิสูจน์ว่าถ้าเอาเลข prime มาเรียงคูณกันไปเรื่อยๆนี่ สุดท้ายมันจะได้เหมือนกับ Riemann zeta function เฉยเลย! (อย่าลืมว่า Riemann zeta function เป็นการเอามาบวกกันแล้วก็แค่เลขเรียงกันไม่เห็นเกี่ยวกับ prime.. ดังนั้นดูเผินๆอันนี้ค่อนข้างมหัศจรรย์)

Euler product - Wikipedia
In number theory, an Euler product is an expansion of a Dirichlet series into an infinite product indexed by prime…en.wikipedia.org

โอกาสสุ่มได้ Coprime

1/RiemannZetaFunction(n) เนี่ย เป็นโอกาสที่เลือกสุ่มเลขมา n ตัวแล้วทุกตัวเป็น coprime กัน (หรม. เป็น 1) เช่นเลือกเลขอะไรก็ได้มั่วๆมา 3 ตัว โอกาสคือ 1/1.202 = 83% เลยนะ

Coprime integers - Wikipedia
In number theory, two integers a and b are said to be relatively prime, mutually prime, or coprime (also written…en.wikipedia.org

มองไปทางไหนก็เจอ prime ขนาดนี้แล้วเราเลยยิ่งต้องหาให้ได้ว่าจุดไหนกันแน่ที่จะทำให้เป็น 0

Trivial zeros กับ Critical line และปัญหาเงินล้าน

ถ้าค่า s ที่เข้าไปเป็นเลขคู่วิ่งไปทางลบนี่ มันจะม้วนไปลง 0 เด๊ะๆแน่ครับ อันนี้เขาว่าง่าย เลยตั้งชื่อว่า trivial zeros

แต่! มีเส้นตั้งเส้นนึงตั้งชื่อว่า critical line เส้นนี้อยู่ที่ x = 1/2 แน่ๆ (อย่าลืมว่าส่วนนี้เคยอยู่ในเขต undefined ก่อนจะทำ complex analysis) แล้วมีส่วน y (ส่วน i) เป็นจุดประปรายอย่างที่เห็น hypothesis เลยกล่าวว่า

นอกจากตรง trivial zeros แล้ว ค่าอื่นๆที่ input เข้าไปแล้ว sum ออกมาได้ 0 ทั้งหมด อยู่บน critical line (1/2 + ???i)

Riemann hypothesis - Wikipedia
In mathematics, the Riemann hypothesis is a conjecture that the Riemann zeta function has its zeros only at the…en.wikipedia.org

ผ่านมาร้อยกว่าปียังไม่มีใครมาบอกได้ว่าประโยคนี้จริงแน่ จนกระทั่งเมื่อวานนี้ครับ

ทำได้ไง

เหมือนว่าพระเอกคือ “Todd function” ซึ่งผมยังไม่ได้ไปดูว่าคืออะไร แต่เห็นว่ามีบทความกับการถกเถียงขึ้นมานเน็ตบ้างแล้ว แล้วก็แน่นอน ไม่น้อยเลยที่กำลังดราม่าว่าไม่ใช่ของจริง! แก่แล้วพอเถอะ…

Riemann hypothesis, fine structure constant, Todd function
This morning Sir Michael Atiyah gave a presentation at the Heidelberg Laureate Forum with a claimed proof of the…www.johndcook.com

What is the definition of the function T used in Atiyah's attempted proof of the Riemann…
In Michael Atiyah's paper purportedly proving the Riemann hypothesis, he relies heavily on the properties of a certain…mathoverflow.net

Is there a way to discuss the correctness of the proof of the RH by Atiyah in MO?
I just made a question in MO to discuss the correctness of the proof provided by Prof. Atiyah for the Riemann…meta.mathoverflow.net

Riemann hypothesis, the fine structure constant, and the Todd function | Hacker News
Riemann hypothesis, the fine structure constant, and the Todd functionnews.ycombinator.com

Nice try but I am now 99% confident that Atiyah's proof of RH is wrong, hopeless
The live video stream from Atiyah's talk (9:45-10:30) was mostly overloaded but we may already watch a 49-minute-long…motls.blogspot.com

ตอนนี้เห็นว่าเขาจะทำบทความอธิบาย proof สำหรับคนไม่ใช่นักคณิตให้อ่านได้อยู่ แล้วก็คงต้องมี peer review อีกครับ ว่าจะจริงมั้ย… ตอนนี้ wiki ของ millenium prize problem ยังไม่เห็นว่าแก้เป็น solve แล้ว สมมติถูกจริง คิดว่าน่าจะต้องตีความต่อไปว่าบน critical line นี้มี pattern น่าสนใจแบบไหนรออยู่

ถ้าสมมติแก้ความลับของ prime number ได้แล้วจะเกิดอะไรขึ้น

ถ้าเรารู้ว่า prime number ไม่ลับอีกต่อไป อาจจะโลกแตก 555 เช่นพวก security ของคอมหลายอย่างก็ใช้สมบัติที่ว่า prime มันลับในการเข้ารหัส ถ้าจะแฮคก็ทำได้แค่ brute force แบบเป็นล้านปีเสร็จก็เลยสรุปว่าปลอดภัย แฮคไม่ได้ ทีนี้ถ้า prime มันไม่ลับแล้วทุกอย่างก็อาจจะเละ..

เอาใหญ่ใหญ่กว่านั้นก็ไขปริศนาของธรรมชาติและโลก เพราะเขาเชื่อกันว่าที่ธรรมชาติเป็นธรรมชาติและอธิบาย 100% ไม่ได้ ส่วนหนึ่งเพราะ prime number กุมความลับอยู่ (what is the model of naturalness?)